EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat), ilkokul matematiğinden başlayıp lise ve üniversite sınavlarına kadar her seviyede karşımıza çıkan iki temel kavramdır. EBOB iki ya da daha fazla sayıyı kalansız bölen en büyük doğal sayı; EKOK ise her birinin tam katı olan en küçük pozitif sayıdır. Bu araç iki tam sayının EBOB ve EKOK değerlerini Euclidean algoritması (Öklid algoritması) ile saniyeler içinde hesaplar, her sayının asal çarpan ayrıştırmasını ve adım adım çözümünü gösterir. Kesir sadeleştirme, periyot hesabı ve çizelge problemlerinde işinizi kolaylaştırır.
EBOB EKOK Hesaplama
İki sayının EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) değerlerini Euclidean algoritması ile hesaplayın. Asal çarpan ayrıştırması ve adım adım çözüm.
Hesaplama Sonucu
EBOB ve EKOK Nedir?
EBOB (En Büyük Ortak Bölen), iki veya daha fazla pozitif tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. İngilizce karşılığı GCD (Greatest Common Divisor)'dir. Örneğin 12 ve 18 sayılarının bölenleri sırasıyla {1, 2, 3, 4, 6, 12} ve {1, 2, 3, 6, 9, 18}'dir. Ortak bölenler {1, 2, 3, 6}'dır; en büyüğü 6, yani EBOB(12, 18) = 6.
EKOK (En Küçük Ortak Kat), iki veya daha fazla pozitif tam sayının ortak katlarının en küçüğüdür. İngilizce karşılığı LCM (Least Common Multiple)'dir. 12 ve 18'in katları sırasıyla {12, 24, 36, 48...} ve {18, 36, 54, 72...}'dir. Ortak katların en küçüğü 36'dır: EKOK(12, 18) = 36.
EBOB ve EKOK arasında temel bir ilişki vardır:
Bu özellik ile EKOK'u kolayca hesaplayabiliriz: EKOK(a,b) = (a × b) / EBOB(a,b). Aracımız bu kuralı doğrulama olarak da gösterir.
EBOB Nasıl Hesaplanır?
EBOB hesaplamak için üç temel yöntem vardır:
1) Euclidean (Öklid) Algoritması — En Hızlı: İki sayıdan büyük olanı küçük olana böl, kalanı al. Sonra küçük olan ile kalan arasında aynı işlemi tekrarla. Kalan 0 olduğunda son bölen EBOB'dur. Bilgisayarlar bu yöntemi kullanır çünkü çok hızlıdır.
2) Asal Çarpanlarına Ayırma: Her sayıyı asal çarpanlarına ayır. Ortak asal çarpanların en küçük üssünü al, çarp. Örneğin 12 = 2² × 3 ve 18 = 2 × 3². Ortak çarpanlar 2 ve 3. En küçük üsler: 2¹ ve 3¹. EBOB = 2 × 3 = 6.
3) Tüm Bölenleri Listeleme: İlkokul yöntemi. Küçük sayılar için kullanışlı ama büyük sayılarda çok uzun sürer.
EKOK Nasıl Hesaplanır?
EKOK için de üç yöntem vardır:
1) EBOB Üzerinden: En pratiği. EBOB'u bul, sonra çarpımı EBOB'a böl.
2) Asal Çarpanlarla: Ortak ve farklı tüm asal çarpanların EN BÜYÜK üssünü al, çarp. 12 = 2² × 3 ve 18 = 2 × 3² için: 2'nin en büyük üssü 2², 3'ün en büyük üssü 3². EKOK = 2² × 3² = 4 × 9 = 36.
3) Katları Listeleme: Yine ilkokul yöntemi. Sayıların katlarını yazıp ilk ortak değeri bulmak. Yavaş ama görseldir.
2026 EBOB EKOK Örnek Tablosu
| Sayılar | Asal Çarpanlar | EBOB | EKOK | a×b |
|---|---|---|---|---|
| 12, 18 | 2²×3 ve 2×3² | 6 | 36 | 216 = 6×36 ✓ |
| 8, 12 | 2³ ve 2²×3 | 4 | 24 | 96 = 4×24 ✓ |
| 24, 36 | 2³×3 ve 2²×3² | 12 | 72 | 864 = 12×72 ✓ |
| 15, 25 | 3×5 ve 5² | 5 | 75 | 375 = 5×75 ✓ |
| 7, 13 | 7 ve 13 (asal) | 1 | 91 | 91 = 1×91 ✓ |
| 100, 75 | 2²×5² ve 3×5² | 25 | 300 | 7500 = 25×300 ✓ |
İki sayı aralarında asal ise (ortak çarpanları sadece 1'dir) EBOB her zaman 1'dir ve EKOK da iki sayının çarpımına eşittir. 7 ve 13 buna güzel örnektir.
Örnek Hesaplama: 24 ve 36 İçin EBOB EKOK
Ahmet, 24 ve 36 sayıları için EBOB ve EKOK'u hem Euclidean hem asal çarpan yöntemiyle bulmak istiyor.
Sayılar: 24 ve 36
Euclidean: 36 = 24·1 + 12
24 = 12·2 + 0 → EBOB = 12
Asal Çarpanlar: 24 = 2³×3, 36 = 2²×3²
EBOB (en küçük üsler): 2² × 3 = 12 ✓
EKOK (en büyük üsler): 2³ × 3² = 8 × 9 = 72
Doğrulama: 24 × 36 = 864 = 12 × 72 ✓
EBOB EKOK Hangi Problemlerde Kullanılır?
- Kesir sadeleştirme: Pay ve paydanın EBOB'una bölerek kesir en sade hale getirilir. 24/36 → EBOB=12 → 2/3.
- Kesirleri toplama/çıkarma: Paydaların EKOK'u alınarak ortak payda oluşturulur. 1/4 + 1/6 için EKOK(4,6)=12 → 3/12 + 2/12 = 5/12.
- Periyot problemleri: "İki ışık birlikte yandı, biri 12 saniyede biri 18 saniyede bir yanıp sönüyor; tekrar birlikte ne zaman yanar?" EKOK(12,18)=36 saniye sonra.
- Çizelge / planlama: Kaç günde bir aynı gün denk gelir, eşit gruplara bölme problemleri.
- Modüler aritmetik: Sayı teorisi, kriptografi temellerinde.
Sık Yapılan Hatalar
- EBOB ve EKOK'u karıştırmak: EBOB her zaman sayıların kendisinden küçük veya eşit, EKOK ise büyük veya eşittir. Bu sınırı hatırlamak yanlışı önler.
- Asal çarpanlarda yanlış üs almak: EBOB için EN KÜÇÜK üs, EKOK için EN BÜYÜK üs alınır — tam tersini yapmak çok yaygın bir hatadır.
- Aralarında asal sayılarda gözden kaçırma: İki sayının ortak böleni yoksa EBOB=1'dir, EKOK ise çarpımlarıdır.
- İkiden fazla sayıda yöntem karışıklığı: 3 sayı için önce iki sayının EBOB/EKOK'u bulunur, sonra üçüncüyle aynı işlem tekrar edilir.
Diğer matematik araçları için Faktöriyel ve Permütasyon Hesaplama, Karekök Hesaplama ve Yüzde Hesaplama sayfalarımızı ziyaret edebilirsiniz.
Sıkça Sorulan Sorular
EBOB iki sayıyı kalansız bölen EN BÜYÜK ortak böleni; EKOK ise her iki sayının tam katı olan EN KÜÇÜK pozitif sayıdır. EBOB sayılardan küçük veya eşit, EKOK sayılardan büyük veya eşittir. Aralarındaki ilişki: a × b = EBOB × EKOK.
Öklid algoritması, iki sayının EBOB'unu hızlı bulmak için kullanılan klasik yöntemdir. Büyük sayıyı küçüğe böl, kalanı al; sonra küçük ile kalan arasında aynı işlemi yap. Kalan 0 olunca son bölen EBOB'tur. Örnek: EBOB(48,18): 48=18·2+12, 18=12·1+6, 12=6·2+0 → EBOB=6.
İki sayının ortak böleni sadece 1 ise bu sayılar aralarında asaldır. Bu durumda EBOB=1, EKOK ise iki sayının çarpımına eşittir. Örnek: 7 ve 9 aralarında asal — EBOB(7,9)=1, EKOK(7,9)=63.
EBOB kesir sadeleştirmede (pay-paydanın EBOB'una bölünür), eşit gruplara ayırma problemlerinde, çerçeveleme ve döşeme problemlerinde, sayı teorisi ve kriptografide (RSA şifrelemesi gibi) kullanılır.
EKOK paydaları farklı kesirleri toplama-çıkarmada (ortak payda bulmak için), periyodik olayların aynı anda gerçekleşme zamanını bulmada (saatler, sinyal lambaları), eşit aralıklı sayma problemlerinde ve takvim hesaplarında kullanılır.
Önce ilk iki sayının EBOB veya EKOK'unu bulun. Sonra çıkan sonuç ile üçüncü sayının EBOB/EKOK'unu hesaplayın. EBOB için: EBOB(a,b,c) = EBOB(EBOB(a,b), c). EKOK için: EKOK(a,b,c) = EKOK(EKOK(a,b), c).